Характеристики параллелепипеда, типы, площадь, объем

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Параллелепипед» в других словарях:

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — греч., от parallelos., параллельный, и epidon, поверхность. Четырехсторонняя призма, у которой противоположные стороны параллельны между собой. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней.… … Словарь иностранных слов русского языка

Параллелепипед — Параллелепипед. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД (от греческого parallelos параллельный и epipedon плоскость), призма, основание которой параллелограмм. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

параллелепипед — призма, ромбоэдр, шестигранник Словарь русских синонимов. параллелепипед сущ., кол во синонимов: 4 • многогранник (38) • … Словарь синонимов

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — (от греч. parallelos параллельный и epipedon плоскость) призма, основанием которой служит параллелограмм … Большой Энциклопедический словарь

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, параллелепипеда, муж. (от греч. parallelos параллельный и epipedon поверхность) (мат.). Шестигранник, у которого противоположные грани равны и параллельны. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, а, муж. В математике: призма, основанием к рой служит параллелограмм. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Параллелепипед — шестигранник, каждая пара противоположных гранейкоторого суть параллелограммы равной величины и параллельные междусобой … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

параллелепипед — а, м. parallélépipède m. <гр. parallelos + epidepon плоскость. геом. Шестигранник, сторонами которого являются параллелограммы. Крысин 1998. Цвет его <сапфира> лазуревой, сложение листоватое; представляет шести или многоугольную призьму … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — призма, основанием которой является (см.) … Большая политехническая энциклопедия

Параллелепипед — (греч. parallelepípedon, от parállelos параллельный и epípedon плоскость) шестигранник, противоположные грани которого попарно параллельны. П. имеет 8 вершин, 12 рёбер; его грани представляют собой попарно равные параллелограммы. П.… … Большая советская энциклопедия

В переводе с древнегреческого языка параллелепипед означает параллельную плоскость — призму, нишей которой является параллелограмм (многогранник с шестью сторонами). Предметы аналогичной формы находятся в окружающей жизни и быту. В математическом анализе и геометрии расчет параметров фигуры осуществляется с помощью формул.

Необычный вариант конструирования фигуры

Как сделать из бумаги прямоугольный параллелепипед? Вырезать шаблон и склеить стороны фигуры – это просто. Если вы любите проводить свободное время за моделированием всяких поделок, предлагаем вам не совсем обычный вариант параллелепипеда. Его особенность в том, что изначально фигура будет плоской и непохожей на шестигранник, а вот немного воздуха моментально превратит бумагу в настоящий параллелепипед.

  • лист бумаги;
  • карандаш;
  • линейка;
  • скотч;
  • ножницы.
  • Стандартный лист формата А4 имеет прямоугольную форму. Нам нужно сделать заготовку в виде квадрата.
  • Сначала складываем обрезанный лист пополам. Хорошенько отпечатываем сгиб.
  • Развернем лист и согнем его пополам, только уже с другой стороны.
  • Повторяем описанные действия, загибая квадратный лист от углов.
  • Так нужно сделать со всех четырех сторон.
  • У нас получилось много согнутых линий.
  • Находим вершину этих линий и фиксируем рукой.
  • Остальные линии загибаем по сделанным ранее сгибам внутрь. У нас должен получиться вот такой треугольник.

Поворачиваем фигуру на 90° и приподнимаем противоположные уголки.

  • Теперь нам нужно превратить эту фигуру в продолговатый ромб.
  • Выступающие уголки с правой и левой стороны загибаем к центру. Они должны соприкасаться.
  • Еще раз хорошенько приглаживаем все сгибы.
  • Перевернем фигуру на другую сторону и выполним аналогичные действия.
  • Теперь внимательно посмотрите на рисунок и с максимальной точностью повторите загиб уголков.

Если присмотреться, то по обе стороны от сделанных загибов есть прорези — своеобразные кармашки. Закладываем уголки в эти кармашки.

  • Пока эта фигура не слишком похожа на параллелепипед, ее нужно надуть. Для этого можно воспользоваться трубочкой для коктейлей.
  • Воздух нужно задувать через отверстие, которое образовалось на одной из граней фигуры.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

  1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
  2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
  3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
  4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
  6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
  7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
  8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$ — высота(она же боковое ребро);

$P_$ — периметр основания;

$S_$ — площадь основания;

$S_$ — площадь боковой поверхности;

$S_$ — площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_=P_·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

$а$ — длина стороны.

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

  • $S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
  • $S=/$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  • Формула Герона $S=√

    $, где $р$ — это полупериметр $p=/$.

  • $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
  • $S=/$, где $R$ — радиус описанной окружности.
  • Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
  • Для равностороннего треугольника $S=/$, где $а$ — длина стороны.

В основании лежит четырехугольник.

  1. Прямоугольник. $S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
  2. Ромб. $S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
  3. Трапеция. $S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
  4. Квадрат. $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.

Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.

Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник

Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.

Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Идеальный параллелепипед

Идеально параллелепипед представляет собой параллелепипед с целым числом длиной ребер, гранями диагоналями и пространственными диагоналями . В 2009 году было показано, что существуют десятки идеальных параллелепипедов, что явилось ответом на открытый вопрос Ричарда Гая . В одном примере есть края 271, 106 и 103, второстепенные диагонали лица 101, 266 и 255, диагонали основной грани 183, 312 и 323 и диагонали пространства 374, 300, 278 и 272.

Известны идеальные параллелепипеды с двумя прямоугольными гранями. Но неизвестно, существуют ли такие, у которых все грани прямоугольные; такой случай можно было бы назвать идеальным кубоидом .

Вариант первый

Вам потребуется

  • Листок обычной бумаги или картона формата А3.
  • Простой грифельный карандаш.
  • Клей.
  • Линейка.
  • Стирачка (ластик).

Первым делом размечаете лист бумаги.

Используя линейку и карандаш, делите лист бумаги на две равные половины перпендикулярно к ширине. Эту линию вы будете использовать для контроля правильного построения сторон на листке.

Отступаете четыре сантиметра от низа листа и отмечаете по шесть сантиметров справа и слева от нарисованной ранее линии.

Затем соединяете полученные точки линией при помощи линейки и карандаша (эта линия должна проходить параллельно основе бумажного листа).

В результате вы начертите четыре параллелограмма, которые соединяются друг с другом.

Теперь отмеряете полтора сантиметра от последней грани сверху, и у вас получится сделать клапан, при помощи которого вы соедините противоположные стороны поделки.

В том случае, если хотите правильно сделать параллелепипед, учтите, что вы должны точно начертить размеры фигуры, так как от этого зависит качество сборки

Уделите особое внимание заключительному этапу выставления размеров

Теперь вы должны нарисовать на боковых гранях заготовки бока квадратной формы. После этого к ним дорисовываете по три клапана, длина каждого из которых один сантиметр.

Теперь собираете параллелепипед.

Чтобы это сделать, вырезаете фигуру по начерченным линиям и затем смазываете клапаны, используя клей и заправляете их в саму фигуру. Теперь ждете, пока клей высохнет.

Как сделать параллелепипед из бумаги

Создать параллелепипед можно разными способами: оригами, модульная сборка, создание объемной фигуры.

Объемная модель

Это самый простой вариант создания поделки. Понадобится шаблон, который можно распечатать на листе бумаги или начертить самостоятельно. Если необходима модель большого размера, то шаблон рисуют на бумаге формата А3 или А2. Пошаговая инструкция:

  1. Распечатывают шаблон или рисуют его на бумаге. С каждой стороны оставляют по 0,5-1 см остатка для склеивания.
  2. Вырезают его из бумаги, на местах сгибов делают боковые срезы, чтобы они не были видны снаружи.
  3. Сгибают все пунктирные линии. Складывают схему, так чтобы большие боковые прямоугольники были дном и крышей, а все остальные боками.
  4. Промазывают все выступающие участки клеем.
  5. Склеивают участки и разглаживают их, оставляют модель подсохнуть.

Ниже представлено несколько вариантов шаблонов для вырезки.

Оригами

Упрощенный необычный вариант сборки параллелепипеда – техника оригами. Инструкция по сборке с виду кажется сложной, но на самом деле, все проще, чем кажется. Готовая фигура выглядит, как на фото ниже.

Пошаговая инструкция по изготовлению объемной фигуры техникой оригами:

  1. Прямоугольный лист бумаги складывают пополам наискосок.
  2. Сверху остается лишний кусок бумаги, его отрезают. Для поделки нужен квадрат.
  3. Квадрат складывают пополам дважды под прямым углом.
  4. Затем его разворачивают и делают изгибы наискосок с двух сторон.
  5. Получилось много пунктирных линий, вершину всех линий придерживают указательным пальцем.
  6. Остальные загибают внутрь и получается объемный треугольник.
  7. Далее фигуру превращают в правильный ромб.
  8. Боковые углы заворачивают внутрь. Пальцами тщательно проглаживают все сгибы.
  9. Переворачивают полученную фигуру обратной стороной.
  10. Отгибают внутренние треугольники наружу.
  11. Полученные треугольники загибают внутрь кармашков.
  12. Сверху образуется небольшое отверстие, через него надувают параллелепипед. Фигура готова.

На фото ниже представлена наглядная схема.

Модульная сборка

Существует интересная схема сборки при помощи модулей. Она позволяет создать разноцветные параллелепипеды. Пошаговая сборка:

  1. Берут прямоугольный лист бумаги складывают его пополам. Разгибают лист, боковые прямоугольники отгибают внутрь.
  2. Заготовку переворачивают лицом вниз, левый нижний угол оттягивают вниз.
  3. Повторяют то же самое с правым углом.
  4. Верхнюю часть отгибают вниз, а нижнюю вверх. Получается квадрат.
  5. Разворачивают сгиб, первый модуль готов. Делают еще 5 модулей.
  6. Все части соединяют между собой, каждый острый угол вставляют в карман соседней части. Фигура готова.

Можно использовать модули разного цвета, чтобы получить разноцветный параллелепипед.

Ниже представлена пошаговая инструкция по сборке модели.

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 12 см. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислите этот объем.

Скажи сначало тест а то так не понятно

Угол AON=углуNOB=1/2 AOB=45уголKON=углуNOP=1/2 AON=22,5уголKOP=уголKON+уголNOP=22,5+22,5=45

В Краснодарском крае известно 206 основных месторождений нерудных и рудных полезных ископаемых. Среди них выделяются месторождения: а) цветных камней; б) ртути; в) горнотехнического, агрохимического сырья и минеральных солей (формовочные материалы, карбонаты для химической промышленности, йод, гипс и ангидрит); г) строительных материалов (цементное сырье, строительные камни, песчано-гравийные материалы, керамзитовое сырье, строительные и облицовочные камни, морская ракушка).Промышленность строительных материалов в Краснодарском крае производит: а) вяжущие вещества, включая цемент, строительную известь и гипс; б) строительную керамику; в) санитарную керамику; г) искусственные каменные материалы и изделия; д) стекло и стеклоизделия. Кроме того, осуществляется обработка природных каменных материалов и естественных облицовочных материалов. Из отраслей пищевой промышленности в пределах Краснодарского края нерудное минеральное сырье используют сахарные заводы. Химическая промышленность ориентирована в основном на производство кальцинированной соды по аммиачно-хлоридному методу. При этом используется поваренная соль и известняк.

S=(a+b/2)×hS= (21+17/2)×7

Свойства параллелепипеда

Теорема 1

Противоположные грани параллелепипеда равны между собой и параллельны.

Доказательство.

Параллельность противоположных граней сразу исходит из определения 1.

Докажем равенство противоположных граней. Для этого рассмотрим рисунок 2.

Рисунок 2.

Рассмотрим грани ${AA}_1B_1B$ и ${DD}_1C_1C$. Так как, по определению 1, грани параллелепипеда — параллелограммы, то ${AA}_1={DD}_1$ и $AB=DC.$ Так же ${AA}_1||{DD}_1$ и $AB||DC$, следовательно, $\overrightarrow{{AA}_1}\uparrow \uparrow \overrightarrow{{DD}_1}$ и $\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{DC}$, то есть $\angle A_1AB=\angle D_1DC$. Значит, по I признаку равенства треугольников$\triangle A_1AB=\triangle D_1DC$. Аналогично доказывается, что $\triangle D_1C_1C=\triangle A_1B_1B$, следовательно, $D_1C_1CD=A_1B_1BA$. Аналогично доказывается равенство других противоположных граней.

Теорема доказана.

Теорема 2

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 3.

Рисунок 3.

Докажем вначале, что диагонали $A_1C$ и $D_1B$ делятся точкой пересечения $O$ пополам. По теореме 1, имеем $A_1D_1=BC$ и $A_1D_1||BC$. Следовательно, $A_1D_1CB$ — параллелограмм. Тогда, по свойству параллелограмма, получим, что диагонали $A_1C$ и $D_1B$ делятся точкой пересечения $O$ пополам. Аналогично доказывается, что диагонали ${AC}_1$ и $D_1B$ и $A_1C$ и ${DB}_1$ делятся точками их пересечения пополам. Но, так как $O$ центр диагоналей $A_1C$ и $D_1B$, то все диагонали пересекаются в этой точке.

Теорема доказана.

Объем

Параллелепипед, образованный тремя векторами

Параллелепипед можно рассматривать как наклонную призму с параллелограммом в качестве основания. Следовательно, объем параллелепипеда — это произведение площади основания и высоты (см. Диаграмму). С участием
V{\ displaystyle V}B{\ displaystyle B}час{\ displaystyle h}

Bзнак равно|а→|⋅|б→|⋅грех⁡γзнак равно|а→×б→| {\ displaystyle B = | {\ vec {a}} | \ cdot | {\ vec {b}} | \ cdot \ sin \ gamma = | {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} | ~}(где — угол между векторами и ), иγ{\ displaystyle \ gamma}а→{\ displaystyle {\ vec {a}}}б→{\ displaystyle {\ vec {b}}}
часзнак равно|c→|⋅|потому что⁡θ | {\ displaystyle h = | {\ vec {c}} | \ cdot | \ cos \ theta ~ | ~}(где угол между вектором и нормалью к основанию), получаем:θ{\ displaystyle \ theta}c→{\ displaystyle {\ vec {c}}}
Vзнак равноB⋅часзнак равно(|а→||б→|грех⁡γ)⋅|c→||потому что⁡θ |знак равно|а→×б→| |c→| |потому что⁡θ |знак равно|(а→×б→)⋅c→| .{\ displaystyle V = B \ cdot h = (| {\ vec {a}} || {\ vec {b}} | \ sin \ gamma) \ cdot | {\ vec {c}} || \ cos \ theta ~ | = | {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} | ~ | {\ vec {c}} | ~ | \ cos \ theta ~ | = | ({\ vec {a}} \ раз {\ vec {b}}) \ cdot {\ vec {c}} | ~.}

Смешанное произведение трех векторов называется тройным произведением . Это можно описать определителем . Следовательно, объем равен:
а→знак равно(а1,а2,а3)Т, б→знак равно(б1,б2,б3)Т, c→знак равно(c1,c2,c3)Т,{\ displaystyle {\ vec {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) ^ {T}, ~ {\ vec {b}} = (b_ {1}, b_ {2 }, b_ {3}) ^ {T}, ~ {\ vec {c}} = (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}) ^ {T},}

(V1) .Vзнак равно|Detа1б1c1а2б2c2а3б3c3|{\ displaystyle \ quad V = \ left | \ det {\ begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} \ end {bmatrix}} \; \ right |}

Альтернативное представление объема использует только геометрические свойства (углы и длины кромок):

(V2) ,Vзнак равноабc1+2потому что⁡(α)потому что⁡(β)потому что⁡(γ)-потому что2⁡(α)-потому что2⁡(β)-потому что2⁡(γ){\ displaystyle \ quad V = abc {\ sqrt {1 + 2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) — \ cos ^ {2} (\ alpha) — \ cos ^ {2 } (\ beta) — \ cos ^ {2} (\ gamma)}}}

где и — длины ребер.
 αзнак равно∠(б→,c→),βзнак равно∠(а→,c→),γзнак равно∠(а→,б→), {\ displaystyle \ \ alpha = \ angle ({\ vec {b}}, {\ vec {c}}), \; \ beta = \ angle ({\ vec {a}}, {\ vec {c}} ), \; \ gamma = \ angle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}), \}а,б,c{\ displaystyle a, b, c}

Доказательство (V2)

Доказательство (V2) использует и :

Позвольте быть 3×3-матрицей, столбцы которой — векторы (см. Выше). Тогда верно следующее:
M{\ displaystyle M}а→,б→,c→{\ displaystyle {\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}}}

V2знак равно(DetM)2знак равноDetMDetMзнак равноDetMТDetMзнак равноDet(MТM){\ Displaystyle V ^ {2} = (\ Det M) ^ {2} = \ Det M \ Det M = \ Det M ^ {T} \ Det M = \ Det (M ^ {T} M)}
знак равноDetа→⋅а→а→⋅б→а→⋅c→б→⋅а→б→⋅б→б→⋅c→c→⋅а→c→⋅б→c→⋅c→знак равно а2б2c2(1+2потому что⁡(α)потому что⁡(β)потому что⁡(γ)-потому что2⁡(α)-потому что2⁡(β)-потому что2⁡(γ)).{\ displaystyle = \ det {\ begin {bmatrix} {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}} и {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} и {\ vec { a}} \ cdot {\ vec {c}} \\ {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {a}} & {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {b}} & {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c}} \\ {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {a}} и {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {b}} & {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {c}} \ end {bmatrix}} = \ a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} \; \ left (1 + 2 \ cos ( \ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) — \ cos ^ {2} (\ alpha) — \ cos ^ {2} (\ beta) — \ cos ^ {2} (\ gamma) \ right ).}

(Используется последний шаг )
 а→⋅а→знак равноа2,…,а→⋅б→знак равноабпотому что⁡γ,а→⋅c→знак равноаcпотому что⁡β,б→⋅c→знак равнобcпотому что⁡α,…{\ displaystyle \ {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}} = a ^ {2}, …, \; {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = ab \ cos \ gamma, \; {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {c}} = ac \ cos \ beta, \; {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c}} = bc \ cos \ alpha, …}

Соответствующий тетраэдр

Объем любого тетраэдра, который имеет три сходящихся ребра параллелепипеда, равен одной шестой объема этого параллелепипеда (см. ).

Урок № 2: Оригами

В детстве вам наверняка доводилось играть кубиками. Конечно, в то время вы не догадывались, что имеете дело с параллелепипедами. В процессе игры до параллельности всех сторон нет никакого дела, зато важны функциональные возможности. Да и не выговорить ребенку сложного слова. Главное, что восторг детства можно повторить, но уже на новом уровне. Как? Сделать параллелепипед из бумаги, воспользовавшись техникой оригами. Да не одну модель, а столько, сколько лампочек на вашей галогеновой гирлянде. Посмотрите, что в итоге у вас получится.Шаг 1 Возьмите квадратный лист бумаги. Согните его пополам. Разверните и еще раз сложите с другой стороны.

Шаг 2

Повторите те же действия, только в направлении от углов.

Шаг 3

Держите пальцами две противоположные стороны листа по центру. Две другие противолежащие поверхности тоже устремите друг к другу и пригладьте полученный треугольник, зафиксировав тем самым новые линии сгиба.

Шаг 4

Сначала с одной стороны, а затем и с другой поднимите углы треугольника к вершине.

Шаг 5

Получился так называемый ромб. Сведите его правый и левый углы в центре. Снова разгладьте будущий параллелепипед из бумаги.

Не забудьте перевернуть и загнуть уголки с обратной стороны.

Шаг 6

Сделайте обратное действие. Приоткройте только что согнутые уголки и сложите другие. Они образуются из свободных концов бумажного листа и направляются вершинами к линиям сгибов в противоположные друг от друга стороны.

Все это сложно для понимания лишь до момента, пока вы не увидите, о чем, собственно, идет речь.

Шаг 7

Вставьте только что полученные уголочки в образовавшиеся кармашки, как показано на примере.

Шаг 8

Итак, параллелепипед из бумаги готов! Просто он пока еще в сложенном состоянии. Придать ему объема можно двумя способами. Первый: надуть. Второй: взять длинный стержень от обыкновенной шариковой ручки и воспользоваться им. Оба способа осуществляются через единственное отверстие, которое вы обнаружите в нижней части модели (той, что ближе к вам). Когда вы проделаете эти манипуляции, у вас получится вот такая замечательная форма:

В то же отверстие, через которое кубик надувался, вставляется и галогеновая лампочка.

Шаблоны: распечатать и вырезать

Для создания моделей геометрической фигуры чаще всего пользуются готовыми шаблонами. Это не занимает много времени, а параллелепипеды получаются ровными и красивыми. Ниже представлены шаблоны для вырезки.

Как склеить вырезанный шаблон

Склеить шаблон просто. В нем предусмотрены боковые отступы, которые после сборки не будет видно. На каждом отступе делают срезы наискосок, это поможет скрыть кусочки бумаги, которые могут быть видны снаружи.

Предварительно делают сгибы на всех пунктирных линиях. Склеивание начинают с больших боковых квадратов. Они выполняют роль верхнего и нижнего основания. Постепенно склеивают все стороны. Последний прямоугольник самый сложный. Выступы обильно промазывают клеем. Прижимают к поверхности. На этот бок ложат модель, чтобы она засохла.

Сделать параллелепипед своими руками из бумаги можно несколькими вариантами. Облегченный способ – создание модели из шаблона. Техника оригами подходит для тех, кто давно занимается этой техникой. А модульная сборка позволяет сделать фигуры разноцветными. Такое занятие надолго увлекает ребенка, создает геометрическое мышление.

Как сделать параллелепипед из бумаги?

Играя с ребенком различными геометрическими фигурками, вы помогаете ему развивать пространственное мышление и воображение. Он начинает понимать, что значит квадратный, круглый, кубический, шарообразный, прямоугольный и без труда сможет представить это в своей голове. Даже ученикам в школе на уроке геометрии преподаватели всегда показывают макеты различных фигур, что способствует лучшему усвоению геометрических теорем и аксиом. И, пожалуй, самое сложное и трудновыговариваемое слово для ребенка – «параллелепипед». Для того, чтобы освоить эту фигуру и понять её закономерности, предлагаем вам и вашему ребенку сделать параллелепипед из бумаги своими руками.

Для этого вам потребуется:

  • плотная бумага (но не картон, иначе ребенку такая поделка доставит много трудностей), можно использовать лист из альбома;
  • карандаш;
  • линейка;
  • ножницы;
  • клей ПВА.

Чтобы понять, как делать параллелепипед из бумаги, необходимо вспомнить, как он выглядит и что из себя представляет. Эта фигура имеет 6 граней, каждая из которых является прямоугольником. Следовательно, развертка будет состоять из 6 соединенных между собой прямоугольников, находящихся в одной плоскости.

1. Как и любая объемная фигура, параллелепипед имеет длину, ширину и высоту. Именно от их значения будет зависеть размер полученной подделки. Определим желаемые величины и запишем их.

2. Приступим к начертанию схемы прямоугольного параллелепипеда на бумаге. Помните, что бумага не должна быть слишком тонкой, она легко намокнет от клея и покоробится, тогда фигурка не получится ровной, а излишне толстый картон будет плохо сгибаться и трескаться на изгибах.

3. Начертим горизонтальную линию, длина которой будет равна сумме ширины и высоты, умноженных на два. Затем из каждого конца линии опустим перпендикуляр, равный длине предполагаемого параллелограмма. Между ними проведем линию, параллельную первой.

4. Теперь от верхнего правого угла отложим высоту параллелограмма, после — ширину. Затем снова высоту, и снова ширину. От полученных точек проведем перпендикулярные линии к противоположной стороне, которые будут равны длине параллелограмма. Таким образом, мы получили 4 грани фигуры. Осталось еще 2 .

5. Над вторым прямоугольником справа дочертим ещё два снизу и сверху. В этом случае от второй отметки справа, которую мы делали в пункте 4, проведем перпендикуляр вверх равный высоте фигуры. Тоже самое повторим из второй отметки. Соединим перпендикуляры отрезком, равным ширине параллелограмма. Аналогичным методом построим нижний прямоугольник на противоположной стороне.

6. Для того, чтобы было легче склеивать параллелепипед из бумаги, добавим к чертежу дополнительные «крылышки», как указано на рисунке. Их ширина должна быть около 1.5 см. Также необходимо сделать им скошенные углы (45 градусов), чтобы при склеивании они не выглядывали наружу.

Итак, развертка параллелепипеда из бумаги готова

Важно, чтобы все детали чертежа были ровными и строго измеренными, иначе фигура не склеится ровно и будет кривой

7. Вырежем заготовку и согнем её по всем линиям так, чтобы наши боковые грани соприкасались, а верхний и нижний прямоугольники стали «дном» и «крышкой» фигуры.

8. Смажем дополнительные «крылышки» клеем и соберем параллелепипед, заправив их внутрь. Подождем, пока клей высохнет.

Если вы освоили изготовление данной фигурки, можно приступить к собиранию наклонного параллелепипеда из бумаги, гранями которого являются остроугольные ромбы.

  1. По аналогии первой фигуры, начертим схему, как показано на рисунке. Как вы видите все грани наклонного параллелепипеда одинаковы и все стороны ромбов равны между собой.

Добавим к рисунку дополнительные крылышки для склеивания.
Аккуратно соберем фигуру.

Параллелепипед — достаточно простая геометрическая фигура, освоив которую вы можете перейти к другим — создать пирамиду из картона или бумаги иди, например икосаэдр.

Параллелотоп

Coxeter назвал обобщение параллелепипеда в более высоких измерениях параллелотоп.

В частности, в п-мерное пространство называется п-мерный параллелотоп, или просто п-параллелотоп. Таким образом параллелограмм — это 2-параллелоэдр, а параллелепипед — это 3-параллелоэдр.

В более общем смысле параллелотоп, или же параллелотоп Вороного, имеет параллельные и конгруэнтные противоположные грани. Итак, 2-параллелоэдр — это параллелогон который также может включать в себя определенные шестиугольники, а 3-параллелоэдр — это параллелоэдр, в том числе 5 типов многогранников.

Ребра, выходящие из одной вершины k-параллелоэдр образуют k-Рамка (v1,…,vп){ displaystyle (v_ {1}, ldots, v_ {n})} векторного пространства, и параллелоэдр можно восстановить из этих векторов, взяв линейные комбинации векторов с весами от 0 до 1.

В п-объем п-параллелоэдр, вложенный в рм{ Displaystyle mathbb {R} ^ {m}} куда м≥п{ Displaystyle м geq п} можно вычислить с помощью Определитель грамма. Как вариант, громкость — это норма внешний продукт векторов:

V=‖v1∧⋯∧vп‖.{ displaystyle V = left | v_ {1} wedge cdots wedge v_ {n} right |.}

Если м = п, это составляет абсолютную величину определителя п векторов.

Еще одна формула для вычисления объема п-параллелотоп п в рп{ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}, чей п + 1 вершины V,V1,…,Vп{ Displaystyle V_ {0}, V_ {1}, ldots, V_ {n}}, является

Vол(п)=|dет (V 1Т,V1 1Т,…,Vп 1Т)|,{ Displaystyle { rm {Vol}} (P) = | { rm {det}} ( ^ { rm {T}}, ^ { rm {T}}, ldots, ^ { rm {T}}) |,}

куда Vя 1{ displaystyle } вектор-строка, образованный конкатенацией Vя{ displaystyle V_ {i}} и 1. Действительно, определитель не меняется, если V 1{ displaystyle } вычитается из Vя 1{ displaystyle } (я > 0) и размещение V 1{ displaystyle } в последней позиции только меняет знак.

Точно так же громкость любого п-симплекс что разделяет п сходящиеся ребра параллелоэдра имеют объем, равный единице 1 /п! объема этого параллелоэдра.

Как сделать параллелепипед из бумаги своими руками поэтапно

Для начала потребуется выбрать подходящую бумагу. Если вы просто хотите научиться делать параллелепипед своими руками, то можете взять обычную белую бумагу. Однако, она прослужит вам не долго. Так что лучше подберите полукартон любимого цвета. Также важную роль будет играть формат листа, ведь от него будет зависеть размер готового параллелепипеда. Для маленькой геометрической фигуры подойдет А4, но если желаете сделать побольше, то возьмите А3 или даже А2. Подобрав бумагу переходим к прорисовке. Для этого берем линейку и простой карандаш. На всякий случай следует иметь ластик.

Вырезаем по контуру. Так как это не квадрат, то стороны будут разными: где-то шире, а где-то уже. Не забудьте вырезать небольшие боковые стороны для склейки фигуры.

Сгибаем все линии вовнутрь. Имея под рукой канцелярский нож и железную линейку можно провести по всем карандашным линиям небольшие надрезы. Делать это следует аккуратно, чтобы не разрезать бумагу. Надрезы должны доходить не более, чем до половины общей толщины.

Начинаем склеивать стороны.

Далее проклеим с правой стороны.

Напоследок нанесем капельки клея на боковые стороны и склеим левую сторону.

Вот теперь можно с уверенностью сказать, что параллелепипед из бумаги готов. Его можно использовать, как в учебных целях, так и для игр.

Оцените статью
ЗА ШУТКИ
Добавить комментарий